Umwandlung LGS in Fixpunktform

LGS → Fixpunktform

Ax=bAx=b mit AA quadratisch

Dann lässt sich AA darstellen als

A=L+D+UA=L+D+U

wobei DD die Diagonale und L,UL,U jeweils das linke untere beziehungsweise rechte obere Dreieck von AA sind.
Wenn AA regulär ist so lässt sich DD invertieren. Beweis: Permutationsmatrix → alle Diagonalelemente rekursiv auf Nicht-Null Einträge bringen.

(L+D+U)x=b(L+D+U)x=b Dx=−(L+U)x+bDx=-(L+U)x+b x=−D−1(L+U)x+D−1bx=-D^{-1}(L+U)x+D^{-1}b

die Iterationsmatrix ist hier TG=−D−1(L+U)T_G=-D^{-1}(L+U)