Induzierte Matrixnorm

Die induzierte Matrixnorm mit AA quadratisch ist

||A||:=\operatorname{max}||Ax||$$ mit $$||x||=1

durch die Norm des Vektorraum induziert.

Es gilt:

∥A∥=max⁡∥x∥=1∥Ax∥=max⁡x≠0∥Ax∥x∥∥=max⁡x≠0∥Ax∥∥x∥\|A\|=\max _{\|x\|=1}\|A x\|=\max _{x \neq 0}\left\|A \frac{x}{\|x\|}\right\|=\max _{x \neq 0} \frac{\|A x\|}{\|x\|}

→ #lnsexam diese Form kann wichtig für Beweise sein.

Beispiel

Induzierte Matrixnorm 2022-07-10 18.16.28.excalidraw

Eigenschaften

Induzierte Matrixnormen sind wegen den folgenden Eigenschaften besonders interessant und nützlich:

Verträglichkeit mit der Vektornorm:

∣∣Ax∣∣≤∣∣A∣∣⋅∣∣x∣∣||Ax||\leq ||A||\cdot||x||

und Submultiplikativität:

∣∣AB∣∣≤∣∣A∣∣⋅∣∣B∣∣||AB||\leq ||A||\cdot ||B||

und Spektralradius ρ(A)≤∣∣A∣∣\rho(A)\leq ||A||

Beispiele

Related: