Quadratische Approximation per Satz von Taylor

Gegeben sei eine stetige Funktion ff, die zweimal differenzierbar ist auf einer nichtleeren, offenen und konvexen Menge in die reelen Zahlen, dann gilt:

f(x)=f(x0)+∇f(x0)⊤(x−x0)+12(x−x0)⊤∇2f(x0)(x−x0)+o(∥x−x0∥2)f(x)=f\left(x_{0}\right)+\nabla f\left(x_{0}\right)^{\top}\left(x-x_{0}\right)+\frac{1}{2}\left(x-x_{0}\right)^{\top} \nabla^{2} f\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+o\left(\left\|x-x_{0}\right\|^{2}\right) f(x)=f(x0)+∇f(x0)⊤(x−x0)+12(x−x0)⊤∇2f(ξ)(x−x0)f(x)=f\left(x_{0}\right)+\nabla f\left(x_{0}\right)^{\top}\left(x-x_{0}\right)+\frac{1}{2}\left(x-x_{0}\right)^{\top} \nabla^{2} f(\xi)\left(x-x_{0}\right) f(x0+p)=f(x0)+∇f(x0)⊤p+12p⊤∇2f(x0+θp)pf\left(x_{0}+p\right)=f\left(x_{0}\right)+\nabla f\left(x_{0}\right)^{\top} p+\frac{1}{2} p^{\top} \nabla^{2} f\left(x_{0}+\theta p\right) p f(x0+p)=f(x0)+∇f(x0)⊤p+12p⊤∇2f(x0)p+o(∥p∥2)f\left(x_{0}+p\right)=f\left(x_{0}\right)+\nabla f\left(x_{0}\right)^{\top} p+\frac{1}{2} p^{\top} \nabla^{2} f\left(x_{0}\right) p+o\left(\|p\|^{2}\right)

→ siehe Skript wegen Herleitung der anderen Formen.