Wahrscheinlichkeitsraum

Das Tripel aus dem Grundraum, einer Sigma Algebra und einem Wahrscheinlichkeitsmaß: $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ heißt Wahrscheinlichkeitsraum.

Eigenschaften

Die Wahrscheinlichkeit, dass die leere Menge eintrifft ist 0
Auch für endliche Folgen an paarweise disjunkter Mengen ist die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung das gleiche wie die Summe der Wahrscheinlichkeiten
Die Wahrscheinlichkeit des Komplements einer Menge ist 1 minus die Wahrscheinlichkeit der Menge selbst.
$P(B\setminus A) = P(B) - P(A)$
$P(A) \leq P(B)$
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
Für jede unendliche Folge gilt, dass die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung kleiner gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten ist
Wenn eine Menge die Wahrscheinlichkeit 1 hat, dann ist die Wahrscheinlichkeit des Schnitts dieser Menge mit einer anderen die gleiche wie ohne den Schnitt.

Beispiel

Bernoulli-Raum

Der Bernoulli-Raum besteht aus einem Wahrscheinlichkeitsraum, der durch das Tripel $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ aufgespannt wird. Dabei ist $\Omega=\{0,1\}$ und $\mathcal{A}$ ist die Potenzmenge von $\Omega$ .
Die Verteilung P ist definiert durch:

$P(\emptyset) = 0$
$P\{1\}) = p$
$P(\{0\}) = 1-p$
$P(\{0,1\})=1$

mit dem Parameter $p \in [0,1]$ .

Diese Verteilung nennt sich auch Bernoulli-Verteilung ( $Ber_p$ )

Was kann man damit machen?

Mit dem Bernoulliraum lassen sich einfache Zufallsexperimente modellieren. Um das zu tun weißt man den Werten 0 und 1 verschiedene Ereignisse zu (z.B. Kopf und Zahl beim Münzwurf).
Bei einem solchen speziellen Experiment lässt sich aus $P(\{1\})$ direkt die ganze Verteilung ableiten (das ist aber allgemein nicht möglich).
Um diese Verteilung der 1 herauszufinden braucht man die Relative Häufigkeit.

Wenn man aber a priori plausible Annahmen macht (z.B. dass die Münze oder der Würfel fair ist), dann kann man $p$ auch direkt bestimmen als $P(\{k\})=\frac{1}{|\Omega|}$ .
Das geht so, weil die Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.
Da $\Omega$ endlich ist und durch Sigma-Additivität lässt sich für $A\subset \Omega$ die Verteilung als $P(A)=\sum_{w\in A}{P(\{w\})}=\frac{|A|}{|\Omega|}$ berechnen.

→ Das Modell ist nun vollständig