Korrelation

Mit der Kovarianz und falls die Varianz von XX und YY jeweils positiv ist, gilt:

ρ(X,Y):=Cov(X,Y)VarXVarY\rho(X,Y):=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{VarX}\sqrt{VarY}}

Wenn die Kovarianz und damit auch die Korrelation Null ist nennt man XX und YY unkorreliert. Das gilt auch wenn die beiden Zufallsvariblen stochastisch unabhängig sind.

Die Korrelation liegt zwischen −1-1 und 11.
→ Proof by Cauchy-Schwartz

Interpretation der Korrelation

Positive Korrelation: große Werte in XX → große Werte in YY, analog mit kleinen Werten
Negative Korrelation: große Werte in XX → kleine Werte in YY, analog mit kleinen Werten.

Important


Correlation is not Causation > Correlation is not Causation

Definition nach EMD

ρxy=sxysx⋅sy∈[−1,1]\begin{equation}\large \rho_{x y}=\frac{s_{x y}}{s_{x} \cdot s_{y}} \in[-1,1] \end{equation}

→ Erklärung zur Formel: Kovarianz geteilt durch das Produkt der beiden Standardabweichungen.

Sample Correlation

∑i=1n(ai−μA)(bi−μB)n⋅σAσB\frac{\sum_{i=1}^n\left(a_i-\mu_A\right)\left(b_i-\mu_B\right)}{n \cdot \sigma_A \sigma_B}

Analysis

See Correlation Analysis.