Square-And-Multiply-Methode zum Potenzieren

Eine Methode um schnell

a^d\bmod n

zu berechnen.

Diese Methode lässt sich rekursiv definieren als:

c_0=a\bmod n

c_{i+1}=c_i^2\bmod n

d_0=d

d_{i+1}=\lfloor\frac{d_i}{2}\rfloor

\delta_i=d_i \bmod 2

b_0=a^{\delta_0}\bmod n

b_{i+1}=b_ic_{i+1}^{\delta_{i+1}}\bmod n

Ist $d_i \leq 1$ , so ist $b_i=a^d\bmod n.$

Laufzeit

Die Laufzeit ist durch die Größe von $d$ beschränkt. In jeder Iteration wird $d_i$ halbiert.
Wir berechnen also schnell, dass wir nur

l=\lfloor\log_2d\rfloor<3.33\log_{10}d

Schleifenwiederholungen brauchen.
Wir müssen also $l$ mal ein Quadrat bilden und höchstens $l$ Multiplikationen durchführen.

Die Laufzeit lässt sich also mit $O((\log n)^3)$ abschätzen.

Variante 2

In der zweiten Variante versuchen wir den Exponenten stückweise kleiner zu machen. Dabei müssen wir dann immer nur kleine Potenzen berechnen, da die Modulo Operation die Zahlen immer kleiner gleich $n$ hält.

Wir verwenden also einmal für gerades $d$

b \cdot c^d \equiv b \cdot\left(c^2 \bmod n\right)^{\frac{d}{2}} \bmod n

und für ungeraded $d$

b \cdot c^d \equiv(b c \bmod n) \cdot c^{d-1} \bmod n.

Algorithmisch lässt sich auch dieses Verfahren rekursiv definieren, mit:

b_0=1, \quad c_0=a\bmod n,\quad d_o=d.

Wenn $d_i=0$ , dan ist $b_i=a^d\bmod n$ .

Für $d_i>0$ und $d_i$ gerade:

b_{i+1}=b_i, \quad c_{i+1}=c_i^2 \bmod n, \quad d_{i+1}=\frac{d_i}{2}.

Für $d_i >0$ und $d_i$ ungerade:

b_{i+1}=b_i c_i \bmod n, \quad c_{i+1}=c_i, \quad d_{i+1}=d_i-1.

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Variante 3

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