ALBC-2-Verschlüsselung

Verschlüsselung

Alphabet: Großbuchstaben, identifiziert mit den Zahlen $0\dots 25$ .
Schlüssel: $K$ ist ein $6$ -Tuple $K=(k_{1},k_{2},k_{3},k_{4},k_{5},k_{6})$ mit $k$ aus $0\dots 25$ und die ggT-Bedingung gilt.
Verschlüsselungsfunktion ist für den Block $\begin{pmatrix} x & y\end{pmatrix}$ gegeben als
$f_{k}(\begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} k_{1} & k_{2} \\ k_{4} & k_{5} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} k_{3} \\ k_{6} \end{pmatrix}\operatorname{mod}(26)$
Verfahren:

Der Klartext wird in $n$ Blöcke der Länge $2$ aufgeteilt. Der Text ist also $x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}\dots$
Der Chiffretext entsteht dann durch $\widetilde{x}_i=k_1 x_i+k_2 y_i+k_3 \bmod N, \quad \widetilde{y}_i=k_4 x_i+k_5 y_i+k_6 \bmod N$

Entschlüsselung

Verfahren:

Finde ein $d$ , sodass die ggT-Bedingung $d\left(k_1 k_5-k_2 k_4\right) \bmod 26=1$ erfüllt ist
Berechne den inversen Schlüssel mit $\begin{aligned} \ell_1 &=d k_5 \bmod 26=75 \bmod 26=23 \\ \ell_2 &=\left(-d k_2\right) \bmod 26=(-40) \bmod 26=12 \\ \ell_3 &=d\left(k_2 k_6-k_3 k_5\right) \bmod 26=(-715) \bmod 26=13 \\ \ell_4 &=\left(-d k_4\right) \bmod 26=(-115) \bmod 26=15 \\ \ell_5 &=d k_1 \bmod 26=25 \bmod 26=25 \\ \ell_6 &=d\left(k_3 k_4-k_1 k_6\right) \bmod 26=1605 \bmod 26=19 \end{aligned}$
Der Klartext wird in $n$ Blöcke der Länge $2$ aufgeteilt. Der Text ist also $x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}\dots$
Entschlüsselung durch $x_i=\ell_1 \widetilde{x}_i+\ell_2 \widetilde{y}_i+\ell_3 \bmod 26, \quad y_i=\ell_4 \widetilde{x}_i+\ell_5 \widetilde{y}_i+\ell_6 \bmod 26 .$

Die Anzahl der möglichen Schlüssel ist $N^6$ , nach ausfiltern mit der ggT-Bedingung sind es nur noch

\left\{\left(k_1, k_2, k_3, k_4, k_5, k_6\right): 0 \leq k_i \leq N-1, \operatorname{ggT}\left(N, k_1 k_5-k_2 k_4\right)=1\right\}

mit

N^6 \prod\_{p \mid N}\left(1-\frac{1}{p}\right)\left(1-\frac{1}{p^2}\right)=106299648

ALBC-2 ist unsicher

Wenn Teile des Klartexts erraten werden kann man den inversen Schlüssel durch dieses LGS lösen:

\begin{array}{ll} x_1 \equiv \ell_1 \widetilde{x}_1+\ell_{2}\widetilde{y}_1+\ell_3 \bmod 26, & y_1 \equiv \ell_4 \widetilde{x}_1+\ell_5 \widetilde{y}_1+\ell_6 \bmod 26, \\ x_2 \equiv \ell_1 \widetilde{x}_2+\ell_2 \widetilde{y}_2+\ell_3 \bmod 26, & y_2 \equiv \ell_4 \widetilde{x}_2+\ell_5 \widetilde{y}_2+\ell_6 \bmod 26, \\ x_3 \equiv \ell_1 \widetilde{x}_3+\ell_2 \widetilde{y}_3+\ell_3 \bmod 26, & y_3 \equiv \ell_4 \widetilde{x}_3+\ell_5 \widetilde{y}_3+\ell_6 \bmod 26 \end{array}