Minimalkosten-Zirkulations-Problem

Zirkulation

$\min _{x} \sum_{a \in A} w_{a} x_{a}$
s.t. $x\left(\delta^{\text {out }}(v)\right)-x\left(\delta^{\text {in }}(v)\right)=0 \quad$ für alle $v \in V$,
$d_{a} \leq x_{a} \leq c_{a} \quad$ für alle $a \in A$

Um das Problem in die Form eines Zirkulationsproblems zu bringen fügt man eine neue Kante zwischen der Supersenke und der Superquelle ein. Diese Kante darf natürlich keine Kosten haben und die Bedarfsfunktion wählt man so, dass der Bedarf der Superquelle dem negativen Bedarf der Supersenke entspricht.

Negative Kosten können so in nicht-negative Kosten transformiert werden:

Optimalitätsbedingungen

Negative-Kreise-Optimalitätsbedingung

Für die weiteren Bedingungen muss zuerst der Begriff Reduzierte Kosten eingeführt werden.